취미/수학33 멋진 정수론 문제들 정말 좋은 문제들이니 충분한 고민을 거쳐 풀어보자. 문제1 : 다음 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍 (a,b,c) 을 모두 구하여라. lcm(a,b,c)=ab+bc+ca4 [Japan 2020 Final] (sol) 더보기 일반성을 잃지않고 a≥b≥c라고 하자. a|lcm(a,b,c)이고 a|ab+ca이므로 a|bc이다. 따라서 lcm(a,b,c)≤bc가 성립한다.. 즉, 최댓값이 bc이고 gcd(b,c)>1이라면 bc/p꼴이 된다. 그런데, ab+bc+ca≥3bc이므로, $$ \frac{.. 2023. 12. 21. 2021 IMO Problem 6 [대수/조합] 문제: 2 이상의 양의 정수 m에 대하여 정수들의 유한집합 A의 부분집합 B1,B2,...,Bm은 각각의 k=1,2,...,m에 대하여 Bk의 모든 원소의 합이 mk이다. 이 때, n(A)≥m/2임을 증명하여라. 2021 국제수학올림피아드 마지막 문제이다. 짧지만 풀기 어려운 문제다. hint 1) 더보기 m1,m2,...,mk를 보니 왠지 m진법이 떠오른다. hint 2) 더보기 더블카운팅을 이용해보자. 풀이) 더보기 A={a1,a2,...,an}라고 하자. Bk는 원소의 합이 mk이므로, 다음과 같이 표현 가능하다. $$ m^k.. 2023. 12. 19. 아이디어 문제 1개 문제: 양의 실수 a1,a2,...,an에 대하여, bi=(ai−1+ai+1)/ai 로 정의한다. (단, a0=an,an+1=a1) 이 때, 다음 조건이 성립한다. (조건): 모든 1≤i,j≤n에 대해 ai≤aj와 bi≤bj는 필요충분조건이다. 이 때, 수열 an은 모든 항이 같음을 보여라. (풀이) 더보기 m=min이라 하고, M=max(a1,...,an)이라 하자. 어떤 x,y가 존재하여 ax=m,ay=M을 만족한다. ax≤ay가 성립함은 자명하다. 이 때, $$ b_x.. 2023. 12. 16. 재밌는 대수문제 2개 시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다 문제: 양의 정수 a1,a2,...,an과 k,M은 다음 조건을 만족시킨다. 1a1+1a2+...+1an=k,a1a2...an=M 이 때, M>1이면 다항식 P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)...(x+an)은 양의 실근을 갖지 않음을 증명하여라. basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. hint) 더보기 부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자. 풀이) 더보기 산술기하 부등식에 의해, x>0에 대해 다음 식이 성립한다. $$ x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=.. 2023. 12. 10. 이전 1 2 3 4 5 6 7 8 9 다음