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대수4

2009 IMO P5 (함수방정식) 다음 조건을 만족하는 함수 \(f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \)을 모두 구하여라. (조건) 모든 양의 정수 \(a, b\)에 대하여,  \(a, f(b), f(b+f(a)-1)\)을 세 변으로 하는 삼각형이 존재한다. (단, 세 꼭짓점이 일직선상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.)  hint1)더보기우리가 확신할 수 있는 값은 \(a\)뿐이다. 이걸 통해 등식을 찾을 수 있을까?  hint2)더보기\(f(1)\)을 구하는게 문제를 관통하는 흐름이다.  hint3)더보기등식을 얻었다면, 답을 예상할 수 있고 그렇다면 귀납적으로 해결해보자.  sol)더보기주어진 식을 만족하는 함수 \(f\)가 존재한다고 가정하자.\(P(x,y)\)는 주어진 조건에 \(a=x, b=y\)를.. 2025. 1. 31.
2021 IMO Problem 6 [대수/조합] 문제: \(2\) 이상의 양의 정수 \(m\)에 대하여 정수들의 유한집합 \(A\)의 부분집합 \(B_1, B_2, ..., B_m\)은 각각의 \(k=1, 2, ..., m\)에 대하여 \(B_k\)의 모든 원소의 합이 \(m^k\)이다. 이 때, \( n(A)\geq m/2 \)임을 증명하여라. 2021 국제수학올림피아드 마지막 문제이다. 짧지만 풀기 어려운 문제다. hint 1) 더보기 \(m^1, m^2, ... , m^k\)를 보니 왠지 \(m\)진법이 떠오른다. hint 2) 더보기 더블카운팅을 이용해보자. 풀이) 더보기 \(A=\left\{a_1, a_2, ..., a_n \right\}\)라고 하자. \(B_k\)는 원소의 합이 \(m^k\)이므로, 다음과 같이 표현 가능하다. $$ m^k.. 2023. 12. 19.
재밌는 대수문제 2개 시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다 문제: 양의 정수 \(a_1, a_2, ... , a_n\)과 \(k, M\)은 다음 조건을 만족시킨다. $$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}=k\quad , \quad a_1a_2...a_n=M $$ 이 때, \(M>1\)이면 다항식 \(P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)\)은 양의 실근을 갖지 않음을 증명하여라. basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. hint) 더보기 부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자. 풀이) 더보기 산술기하 부등식에 의해, \(x>0\)에 대해 다음 식이 성립한다. $$ x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=.. 2023. 12. 10.
IMO 2022 Problem2 문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며, \(x\)에 대응되는 \(y\)가 반드시 1개만 존재한다.. 풀이) 더보기 Claim 1. 임의의 \(x\)에 대응되는 \(y_{x}\)가 \(x\)이다. 귀류법으로 \( y_x\neq x\)이라 하자. 그렇다면, 쌍 \((x, x)\)는 부등식 \(xf(y)+yf(x)>2\) 을 만족해야 한다. 따라서 \(xf(x)>1\)이다. 이제 쌍 \((x, y_x)\)을 대입하면, $$ 2\geqslant xf(y_x)+y_xf(x)>\frac{x}{y_x}+\frac{y_x}{x}>2\sqrt{\frac{x}{y_x}\frac{y_x}{x}}=2 $$ 이므로 모순 따라서 \(y_x=x\)이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+}.. 2023. 10. 30.

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