아이디어 문제 1개

문제: 양의 실수 $a_1,a_2,...,a_n$에 대하여, $b_i=(a_{i-1}+a_{i+1})/a_i$ 로 정의한다. (단, $a_0=a_n,a_{n+1}=a_1$)

이 때, 다음 조건이 성립한다. 

          (조건): 모든 $1\le i,j\le n$에 대해 $a_i\le a_j$와 $b_i\le b_j$는 필요충분조건이다.

이 때, 수열 $a_n$은 모든 항이 같음을 보여라. 

 

 

(풀이)

$m=min(a_1,...,a_n)$이라 하고, $M=max(a_1,...,a_n)$이라 하자. 

어떤 $x,y$가 존재하여 $a_x=m,a_y=M$을 만족한다.  $a_x\le a_y$가 성립함은 자명하다. 

이 때, 

$$b_x=\frac{a_{x-1}+a_{x+1}}{a_x}\ge \frac{a_x+a_x}{a_x}=2$$ 

$$b_y=\frac{a_{y-1}+a_{y+1}}{a_y}\le \frac{a_y+a_y}{a_y}=2$$

이므로, $b_x\ge b_y$가 성립한다. 

따라서 문제 조건에 의해, $a_x\ge a_y$도 성립한다. 

즉, $m\ge M$과 $m\le M$이 모두 성립하므로, $m=M$이다.

이 말은 모든 항에서 최댓값과 최솟값이 같다는 의미이므로, 모든 항이 $m$으로 같아지게 된다.