아이디어 문제 1개

문제: 양의 실수 \(a_1, a_2, ... , a_n\)에 대하여, \(b_i=(a_{i-1}+a_{i+1})/a_i \) 로 정의한다. (단, \(a_0=a_n, a_{n+1}=a_1 \))

이 때, 다음 조건이 성립한다. 

          (조건): 모든 \(1\leq i, j\leq n \)에 대해 \(a_i \leq a_j \)와 \(b_i \leq b_j \)는 필요충분조건이다.

이 때, 수열 \(a_n\)은 모든 항이 같음을 보여라. 

 

 

(풀이)

\(m=\min(a_1, ..., a_n)\)이라 하고, \(M=\max(a_1, ..., a_n)\)이라 하자. 

어떤 \(x, y\)가 존재하여 \(a_x=m, a_y=M\)을 만족한다.  \(a_x \leq a_y\)가 성립함은 자명하다. 

이 때, 

$$  b_x=\frac{a_{x-1}+a_{x+1}}{a_x}\geq \frac{a_x+a_x}{a_x}=2 $$ 

$$  b_y=\frac{a_{y-1}+a_{y+1}}{a_y}\leq \frac{a_y+a_y}{a_y}=2 $$

이므로, \(b_x\geq b_y\)가 성립한다. 

따라서 문제 조건에 의해, \(a_x \geq a_y \)도 성립한다. 

즉, \(m \geq M\)과 \(m \leq M\)이 모두 성립하므로, \(m=M\)이다.

이 말은 모든 항에서 최댓값과 최솟값이 같다는 의미이므로, 모든 항이 \(m\)으로 같아지게 된다.