재밌는 문제 - 중등KMO 2021 1번
풀이) 더보기 Step1) \(A(st, s, t)=A(st-s, s, t) \) 임을 보이자. \(y_i=x_i+1 \) 이라 하면, \(y_1\geqslant y_2\geqslant ...\geqslant y_s\geqslant 0 \) 을 만족하고, \(y_1-y_s\leqslant t \) 도 만족한다. 또한, \(y_1+y_2+...+y_s=st-s \) 이므로 이러한 쌍의 개수는 \(A(st-s, s, t) \) 와 같아진다. Step2) \(A(st, s, t)=A(st-t, s, t) \) 임을 보이자 순서쌍 (\(x_1, x_2, ..., x_s)\)가 조건을 만족할 때, 순서쌍 \((x_2, x_3, ..., x_s, x_1-t)\) 가 항상 해가 됨을 보이자. 우선, \(x_2\geq..
2023. 10. 27.
재밌는 문제 - 고등KMO 2022 1번
2022 KMO 고등부 1번 문제이다. 의외로 쉽게 풀 수 있으니 다들 try해보자. 풀이) 더보기 \(m_n = \max\{a_n, b_n, c_n\}\)라고 하자. \(m_n^2>2n+13\)임을 보이자. 세 점화식에서 \(m_n\)에 대한 정보를 뽑아낸다. 이 때, \(1/a_n,1/b_n, 1/c_n\geqslant 1/m_n\) 이므로, $$ m_{n+1}^2\geqslant \max\{b_n^2+\frac{2b_n}{c_n}, c_n^2+\frac{2c_n}{a_n}, a_n^2+\frac{2a_n}{b_n}\}+\frac{1}{m_n^2} $$ 가 성립한다. 이 때, $$ \max\{b_n^2+\frac{2b_n}{c_n}, c_n^2+\frac{2c_n}{a_n}, a_n^2+\frac{2..
2023. 9. 15.