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취미/수학33

2023 IMO 1번 재밌는 문제다. 풀이 스케치) 더보기 모든 약수 집합을 줬고 크기 순으로 이루어져 있다. 따라서 모든

i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>i</mi></math>

d i d k + 1 - i = n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>n</mi></math>

d k - 2 | d k - 1 + d k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></math>

d k - 2 | d k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></math>

d k - 2 | d k - 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>

이다. 따라서

d 2 | d 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub></math>

이다. 이 때,

d 2 | d 3 + d 4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>4</mn></mrow></msub></math>

d 2 | d 4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>4</mn></mrow></msub></math>

가 된다. 이 식을 다시

d k - 3 | d k - 2 + d k - 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></math>

에 넣어서 진행하면,

d 2 | d 3 | d 4 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>4</mn></mrow></msub></math>

를 얻게 된다. 이걸 통해

d 2 | d 3 | . . . | d k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msub><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></math>

임을 쉽게 알 수 있다. 이걸 제대.. 2023. 9. 10.

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