취미/수학26 재밌는 대수문제 2개 시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다 문제: 양의 정수 \(a_1, a_2, ... , a_n\)과 \(k, M\)은 다음 조건을 만족시킨다. $$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}=k\quad , \quad a_1a_2...a_n=M $$ 이 때, \(M>1\)이면 다항식 \(P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)\)은 양의 실근을 갖지 않음을 증명하여라. basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. hint) 더보기 부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자. 풀이) 더보기 산술기하 부등식에 의해, \(x>0\)에 대해 다음 식이 성립한다. $$ x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=.. 2023. 12. 10. 재밌는 경시문제 2개 APMO에 출제되었던 재밌는 두 문제를 소개한다. 문제 1. 양의 정수 \(a, b, c\)에 대해 \(a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b\) 모두가 완전제곱수가 되는 \(a, b, c\)는 존재하지 않음을 증명하여라. 풀이) 더보기 \(a^2+b+c\)는 \(a^2\) 보다 큰 완전제곱수이므로, \( a^2+b+c\geq (a+1)^2\) 가 성립한다. 즉, \(b+c\geq 2a+1\)이다. 마찬가지로, $$ \left\{\begin{matrix} b+c\geq 2a+1 \\ c+a\geq 2b+1 \\ a+b\geq 2c+1 \end{matrix}\right. $$ 이다. 세 변을 모두 더하면 \(0\geq 3\) 이므로 모순이다. 문제 2. 실수 수열 \(a_n\)는 모든 양의 정수 \.. 2023. 12. 5. 재밌는 논술문제 2018 한양대 의대논술 마지막 문제이다. Hint) 더보기 \(m, n\)이 모두 변수일 때 \(a_k\)를 계산하는건 매우 복잡하다. \(m=2\)일 때부터 쉽게 생각해보자. 풀이) 더보기 \(m\)에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. [Step 1] \(m=2\)일 때 보자. \( P(x)=(x^2-2x+1)(x+1)^n\) 에서 \(a_k\)를 구하자. \(k\geq 2\)에 대해 $$ a_k=\binom{n}{k-2}-2\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} $$ 가 된다. 이제 어떤 \(k\)에 대해 \(a_k=a_{k+1}=0\)이라고 가정하자. \(a_k=0\)을 정리하면, $$ \binom{n}{k-2}+ \binom{n}{k}=2\binom{n}{k-1} $$ $$ \frac.. 2023. 12. 4. 재밌는 문제 - [조합/정수론] 2023 인하대 의대논술 3번문제이다. 정수, 확률, 논리를 잘 물어보는 문항이다. 경시나 논술에 자주 나오는 나머지관찰(mod)이나 귀류법 증명등 유명한 접근법이 쓰였다. mod식 서술은 고등범위가 아니므로 서술하는데 꽤 까다롭다. 3-1, 3-2 a) 풀이) 더보기 3-2 (b) 풀이) 더보기 3-3 풀이) 더보기 2023. 11. 29. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음