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IMO7

재밌는 함수부등식 문제 다음 조건을 만족하는 함수 \(f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) 를 구하여라. (\( \mathbb{R}^+\)는 양의 실수 집합)모든 실수 \(x, y\in \mathbb{R}^+\)에 대하여,  $$ x(f(x)+f(y))\geqslant (f(f(x))+y)f(y) $$를 만족한다. [2023 IMO Shortlist A4]  sol)더보기주어진 조건을 만족하는 함수 \(f\)가 존재한다고 가정하자. \(P(a, b)\)는 주어진 식에 \(x=a, y=b\)를 대입하여 정리한 식을 표기한다. \( f_{}^{k}(x)\)는 함수 \(f\)를 \(k\)번 합성한 함수를 표기하고,  \(f^{0}(x)=x\)이다.   \(P(x, x): f(f(x))\leqslant x\) .. 2025. 2. 25.
2009 IMO P5 (함수방정식) 다음 조건을 만족하는 함수 \(f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \)을 모두 구하여라. (조건) 모든 양의 정수 \(a, b\)에 대하여,  \(a, f(b), f(b+f(a)-1)\)을 세 변으로 하는 삼각형이 존재한다. (단, 세 꼭짓점이 일직선상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.)  hint1)더보기우리가 확신할 수 있는 값은 \(a\)뿐이다. 이걸 통해 등식을 찾을 수 있을까?  hint2)더보기\(f(1)\)을 구하는게 문제를 관통하는 흐름이다.  hint3)더보기등식을 얻었다면, 답을 예상할 수 있고 그렇다면 귀납적으로 해결해보자.  sol)더보기주어진 식을 만족하는 함수 \(f\)가 존재한다고 가정하자.\(P(x,y)\)는 주어진 조건에 \(a=x, b=y\)를.. 2025. 1. 31.
정수문제 2개 최대지수와 LTE Lemma 관련 문제를 풀다가 좋은 문제들을 소개한다. [문제1] 양의 정수 \(b, n>1\)에 대해 다음 조건을 만족하면 \(b=A^n\)꼴임을 보여라. (단, \(A\)는 정수) (조건): 2이상의 모든 양의 정수 \(k\)에 대해 \(b-a_{k}^n\)이 \(k\)의 배수가 되는 정수 \(a_k\)가 존재한다. [IMO SL 2007 N2] 최대지수에 대한 기본적인 성질들로 풀리는 멋진 문제이다. sol) 더보기 [Claim] \( v_p(x)\neq v_p(y)\) 이면 \(v_p(x\pm y)=\textup{min}\begin{Bmatrix} v_p(x), v_p(y) \\ \end{Bmatrix}\) 이다. [Claim 증명] \(x=p^mu , y=p^nv\)라고 하자... 2024. 2. 24.
멋진 정수론 문제들 정말 좋은 문제들이니 충분한 고민을 거쳐 풀어보자. 문제1 : 다음 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍 \((a, b, c)\) 을 모두 구하여라. $$ \textup{lcm}(a, b, c)=\frac{ab+bc+ca}{4} $$ [Japan 2020 Final] (sol) 더보기 일반성을 잃지않고 \(a \geq b \geq c \)라고 하자. \(a | \textup{lcm}(a,b,c) \)이고 \(a|ab+ca\)이므로 \(a|bc\)이다. 따라서 \(\textup{lcm}(a,b,c) \leq bc\)가 성립한다.. 즉, 최댓값이 \(bc\)이고 \(\textup{gcd}(b, c)>1\)이라면 \(bc/p \)꼴이 된다. 그런데, \(ab+bc+ca \geq 3bc\)이므로, $$ \frac{.. 2023. 12. 21.

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