경시4 2021 IMO Problem 6 [대수/조합] 문제: 2 이상의 양의 정수 m에 대하여 정수들의 유한집합 A의 부분집합 B1,B2,...,Bm은 각각의 k=1,2,...,m에 대하여 Bk의 모든 원소의 합이 mk이다. 이 때, n(A)≥m/2임을 증명하여라. 2021 국제수학올림피아드 마지막 문제이다. 짧지만 풀기 어려운 문제다. hint 1) 더보기 m1,m2,...,mk를 보니 왠지 m진법이 떠오른다. hint 2) 더보기 더블카운팅을 이용해보자. 풀이) 더보기 A={a1,a2,...,an}라고 하자. Bk는 원소의 합이 mk이므로, 다음과 같이 표현 가능하다. $$ m^k.. 2023. 12. 19. 재밌는 대수문제 2개 시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다 문제: 양의 정수 a1,a2,...,an과 k,M은 다음 조건을 만족시킨다. 1a1+1a2+...+1an=k,a1a2...an=M 이 때, M>1이면 다항식 P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)...(x+an)은 양의 실근을 갖지 않음을 증명하여라. basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. hint) 더보기 부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자. 풀이) 더보기 산술기하 부등식에 의해, x>0에 대해 다음 식이 성립한다. $$ x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=.. 2023. 12. 10. 재밌는 경시문제 2개 APMO에 출제되었던 재밌는 두 문제를 소개한다. 문제 1. 양의 정수 a,b,c에 대해 a2+b+c,b2+c+a,c2+a+b 모두가 완전제곱수가 되는 a,b,c는 존재하지 않음을 증명하여라. 풀이) 더보기 a2+b+c는 a2 보다 큰 완전제곱수이므로, a2+b+c≥(a+1)2 가 성립한다. 즉, b+c≥2a+1이다. 마찬가지로, {b+c≥2a+1c+a≥2b+1a+b≥2c+1 이다. 세 변을 모두 더하면 0≥3 이므로 모순이다. 문제 2. 실수 수열 an는 모든 양의 정수 \.. 2023. 12. 5. IMO 2022 Problem2 문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며, x에 대응되는 y가 반드시 1개만 존재한다.. 풀이) 더보기 Claim 1. 임의의 x에 대응되는 yx가 x이다. 귀류법으로 yx≠x이라 하자. 그렇다면, 쌍 (x,x)는 부등식 xf(y)+yf(x)>2 을 만족해야 한다. 따라서 xf(x)>1이다. 이제 쌍 (x,yx)을 대입하면, 2⩾ 이므로 모순 따라서 yx=x이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+}.. 2023. 10. 30. 이전 1 다음
