재밌는 경시문제 2개

 

APMO에 출제되었던 재밌는 두 문제를 소개한다. 

 

 

문제 1. 양의 정수 \(a, b, c\)에 대해 \(a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b\) 모두가 완전제곱수가 되는

            \(a, b, c\)는  존재하지 않음을 증명하여라. 

 

풀이)

\(a^2+b+c\)는 \(a^2\) 보다 큰 완전제곱수이므로, \( a^2+b+c\geq (a+1)^2\) 가 성립한다.

즉, \(b+c\geq 2a+1\)이다. 마찬가지로, 

$$ \left\{\begin{matrix} b+c\geq 2a+1
 \\ c+a\geq 2b+1
 \\  a+b\geq 2c+1
\end{matrix}\right. $$

이다. 세 변을 모두 더하면 \(0\geq 3\) 이므로 모순이다. 

 

 

 

문제 2. 실수 수열 \(a_n\)는 모든 양의 정수 \(i, j\)에 대하여 \(a_i+a_j\geq a_{i+j}\)를 만족한다. 

            이 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. 

                    $$ a_1+\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}\geq a_n $$

 

 

풀이)

강한 수학적 귀납법으로 증명하자. 

\(n=1\)일 땐 자명하다. \(n=2\)일 땐 \(2a_1\geq a_2\)을 통해 쉽게 유도된다.

이제 \(n\leq k\)인 모든 자연수 \(n\)에 대해 위 부등식이 성립한다고 가정하자.

\(n=1\)부터 \(n=k\)인 경우 모든 부등식을 더하면, 아래와 같은 부등식을 얻는다. 

$$ \sum_{i=1}^{k}\frac{(k-i+1)a_i}{i}\geq \sum_{i=1}^{k}a_i $$

양변에 \( \sum_{i=1}^{k}a_i \)를 더해주면, 부등식은 아래와 같다. 

$$ \sum_{i=1}^{k}\frac{(k+1)a_i}{i}\geq 2\sum_{i=1}^{k}a_i=\sum_{i=1}^{k}(a_i+a_{k+1-i})\geq ka_{k+1} $$

식을 정리하면,

$$ \sum_{i=1}^{k}\frac{a_i}{i}\geq \frac{ka_{k+1}}{k+1} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{k+1}\frac{a_i}{i}\geq a_{k+1} $$

이므로 \(n=k+1\)일 때도 성립한다.

따라서 강한 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대해 위 부등식이 성립한다.