재밌는 대수문제 2개

 

시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다

 

 

문제: 양의 정수 \(a_1, a_2, ... , a_n\)과 \(k, M\)은 다음 조건을 만족시킨다.

$$  \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}=k\quad , \quad a_1a_2...a_n=M $$

이 때, \(M>1\)이면 다항식 \(P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)\)은 양의 실근을

갖지 않음을 증명하여라.  

 

basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. 

 

hint) 

부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자.

 

풀이)

산술기하 부등식에 의해,  \(x>0\)에 대해 다음 식이 성립한다.

$$ x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=(x+1)+\underbrace{1+...+1}\geq a_i(x+1)^{1/a_i} $$

이 식을 \(i=1,2,...,n\)에 대해 곱하면, 

$$ (x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)\geq (a_1a_2...a_n)(x+1)^{1/a_1+...+1/a_n}=M(x+1)^k  $$

이다. 또한 등호조건은 \(x+1=1\) 일 때 성립하므로 양수 \(x\)에 대해서 등호는 빠진다.

따라서 모든 양의 실수 \(x\) 에 대해 \( (x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n) > M(x+1)^k\) 즉, 

\(P(x)<0\)이다. 따라서 양의 실근은 존재하지 않는다. 

 

 

 

문제: 양의 정수로 이루어진 증가하는 무한수열 \(a_0, a_1, a_2, ... \)에 대해

         다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)이  유일하게 존재함을 증명하여라. 

$$ a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}\leq a_{n+1} $$

 

2014 IMO P1이다. 이정도는 수리논술에 나와도 충분한 난이도다. 

 

풀이)

양변의 식을 정리하면,

$$ (n-1)a_n-(a_1+...+a_{n-1})<a_0\leq na_{n+1}-(a_1+...+a_n) $$

이다.  \(b_n:=(n-1)a_n-(a_1+....+a_{n-1})\) 으로 정의하자. 

\(b_n\)은 \(b_1=0\)이고 \(b_{n+1}-b_{n}=a_{n+1}-a_n>0\)이므로 증가수열이다. 

위 식은 \(b_n<a_0 \leq b_{n+1} \)과 같고, 수열 \(b_n\)이 증가수열이므로, \(a_0\)가 정해짐에 따라

이를 만족하는 \(n\)이 존재하고 유일함은 자명하다.