재밌는 대수문제 2개

 

시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다

 

 

문제: 양의 정수 $a_1,a_2,...,a_n$과 $k,M$은 다음 조건을 만족시킨다.

$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}=k,a_1{a}_2...a_n=M$$

이 때, $M>1$이면 다항식 $P(x)=M(x+1{)}^k-(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)$은 양의 실근을

갖지 않음을 증명하여라.  

 

basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. 

 

hint) 

부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자.

 

풀이)

산술기하 부등식에 의해,  $x>0$에 대해 다음 식이 성립한다.

$$x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=(x+1)+\underbrace{1+...+1}\ge a_i(x+1{)}^{1/a_i}$$

이 식을 $i=1,2,...,n$에 대해 곱하면, 

$$(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)\ge (a_1{a}_2...a_n)(x+1{)}^{1/a_1+...+1/a_n}=M(x+1{)}^k$$

이다. 또한 등호조건은 $x+1=1$ 일 때 성립하므로 양수 $x$에 대해서 등호는 빠진다.

따라서 모든 양의 실수 $x$ 에 대해 $(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)>M(x+1{)}^k$ 즉, 

$P(x)<0$이다. 따라서 양의 실근은 존재하지 않는다. 

 

 

 

문제: 양의 정수로 이루어진 증가하는 무한수열 $a_0,a_1,a_2,...$에 대해

         다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$이  유일하게 존재함을 증명하여라. 

$$a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}\le a_{n+1}$$

 

2014 IMO P1이다. 이정도는 수리논술에 나와도 충분한 난이도다. 

 

풀이)

양변의 식을 정리하면,

$$(n-1)a_n-(a_1+...+a_{n-1})<a_0\le n{a}_{n+1}-(a_1+...+a_n)$$

이다.  $b_n:=(n-1)a_n-(a_1+....+a_{n-1})$ 으로 정의하자. 

$b_n$은 $b_1=0$이고 $b_{n+1}-b_n=a_{n+1}-a_n>0$이므로 증가수열이다. 

위 식은 $b_n<a_0\le b_{n+1}$과 같고, 수열 $b_n$이 증가수열이므로, $a_0$가 정해짐에 따라

이를 만족하는 $n$이 존재하고 유일함은 자명하다.