재밌는 문제 - 고등KMO 2022 1번

 

2022 KMO 고등부 1번 문제이다. 의외로 쉽게 풀 수 있으니 다들 try해보자.

 

 

풀이)

 

\(m_n = \max\{a_n, b_n, c_n\}\)라고 하자.  \(m_n^2>2n+13\)임을 보이자. 

세 점화식에서 \(m_n\)에 대한 정보를 뽑아낸다. 이 때, \(1/a_n,1/b_n, 1/c_n\geqslant 1/m_n\) 이므로, 

$$ m_{n+1}^2\geqslant \max\{b_n^2+\frac{2b_n}{c_n}, c_n^2+\frac{2c_n}{a_n}, a_n^2+\frac{2a_n}{b_n}\}+\frac{1}{m_n^2} $$

가 성립한다. 이 때, 

$$ \max\{b_n^2+\frac{2b_n}{c_n}, c_n^2+\frac{2c_n}{a_n}, a_n^2+\frac{2a_n}{b_n}\}
\geqslant \max\{b_n^2+\frac{2b_n}{m_n}, c_n^2+\frac{2c_n}{m_n}, a_n^2+\frac{2a_n}{m_n}\} $$

이고, 함수 \(x^2+\frac{2x}{m_n} \)은 증가함수이므로, 

$$  \max\{b_n^2+\frac{2b_n}{m_n}, c_n^2+\frac{2c_n}{m_n}, a_n^2+\frac{2a_n}{m_n}\}=m_n^2+2 $$

이다. 따라서 

$$ m_{n+1}^2 \geqslant m_n^2+2+\frac{1}{m_n^2}>m_n^2+2 $$

을 얻으므로, 이를 통해 \(m_n^2>2n+23  (n>1)\)을 얻을 수 있다. 

 

더 쉬운 풀이)

\(s_n^2=a_n^2+b_n^2+c_n^2>6n+39 \)을 보이면 비둘기집 원리에 의해 \(\sqrt{2n+13}\)보다 큰게 반드시 존재한다.

위 세 점화식을 제곱하고 세 항을 모두 더해서 정리하면, 

$$ s_{n+1}^2 > s_n^2+2\left ( \frac{a_n}{b_n}+\frac{b_n}{c_n}+\frac{c_n}{a_n} \right )>s_n^2+6 $$

이다. 이제 수학적 귀납법으로 보여주면 된다.