2023 IMO 1번

 

재밌는 문제다.

 

풀이 스케치)

모든 약수 집합을 줬고 크기 순으로 이루어져 있다. 따라서 모든 \(i\)에 대해 \(d_{i}d_{k+1-i}=n\) 이다. 

\(d_{k-2} | d_{k-1}+d_{k}\) 이고, \(d_{k-2}|d_{k}\) 이므로, \(d_{k-2} | d_{k-1}\) 이다. 따라서 \(d_{2}|d_{3}\) 이다.

이 때, \(d_{2} | d_{3}+d_{4}\) 이므로.. \(d_{2} | d_{4}\) 가 된다. 이 식을 다시 \(d_{k-3} | d_{k-2}+d_{k-1}\) 에 넣어서

진행하면, \(d_{2} | d_{3} | d_{4}\) 를 얻게 된다. 이걸 통해 \(d_{2} | d_{3} | ... | d_{k}\) 임을 쉽게 알 수 있다.

이걸 제대로 서술하려면 강한 수학적 귀납법으로 해주면 된다. 

이제 \(p^k\) 꼴이란건 쉽게 알 수 있는데 서로 다른 두 소인수 \(p<q\)를 갖는다고 하면, \(p|q\)가 되어

소수의 정의에 모순이기 때문이다. 따라서 유일한 소인수는 하나의 소수 \(d_2\)가 되고 답은 

모든 소수 \(p\)에 대해 \(p^k\)꼴이다.