2021 울산대의대논술 4번 해설

문제: 서로 다른 세 정수 \(a, b, c\)와 소수 \(p\)에 대하여, 다항식 

$$ f(x)=(x-a)^{2}(x-b)^{2}(x-c)^{2}+p$$

는 최고차항의 차수가 \(5\)이하인 두 정수계수 다항식으로 인수분해될 수 없음을 증명하여라. 

 

sol)

두 정수계수다항식 \(g(x) \times h(x)\)로 인수분해된다고 가정하자. (귀류법)

일반성을 잃지 않고 \(h\)의 차수가 \(g\)의 차수보다 크거나 같다고 하자.

 

[Case1] 홀수차 다항식이 존재하는 경우

두 식이 1차 \(\times \) 5차로 인수분해되거나 3차\(\times \)3차로 인수분해된다고 가정하자. 

홀수차 다항식은 사이값정리에 의해, 항상 함숫값 \(0\)을 가지므로,

\(f(x)=g(x)h(x)>0\)임에 모순이다. 

 

[Case2] 2차  \(\times \) 4차로 인수분해되는 경우 

case1과 마찬가지로 \(g(x), h(x)\)중 \(0\)이하인 값이 존재한다면, 사이값정리에 의해 

\(f(x)=0\)이 되는 경우가 존재하므로 모순이다.  따라서 \(g(x)>0 , h(x)>0\)이다. 

\(g(a)h(a)=g(b)h(b)=g(c)h(c)=p\)이므로, \(  \left\{ g(a), g(b), g(c)\right\}=\left\{ 1,p\right\}\)이다. 

이 때, 세 값이 모두 같으면, \(g\)가 이차함수임에 모순이다.

\(f(x)\)가 \((a, b, c)\)에 대한 대칭식이므로, 일반성을 잃지 않고 \(g(a)=g(b)\)라고 하자. 

따라서 \((g(a), g(b), g(c))\)는 \((1,1,p)\) 또는 \((p,p,1)\)이다.

이 때,  \((h(a), h(b), h(c))\)는 \((p,p,1)\) 또는 \((1,1,p)\)이다.

 

1) \(g(a)=g(b)=1\)인 경우 

\(g(x)=(x-a)(x-b)+1\)이고, \(g(c)=p\)이므로 \((c-a)(c-b)=p-1\)이다. 

\(h(x)=(x-a)(x-b)Q_1(x)+p\)로 두고 \(h(c)=1\)을 정리하면, \(Q_1(c)=-1\)을 얻는다. 

\(f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\)도 \((x-a)(x-b)(x-c)\)를 인수로 가지므로, 

\(h'(a)=-pg'(a), h'(b)=-pg'(b)\)를 얻는다.  

이 식들을 정리하면, \(Q_1(a)=Q_1(b)=-p\)이므로 \(Q_1(x)=(x-a)(x-b)-p\)이다. 

이를 \(g'(c)=-ph'(c)\)를 정리하면, \(2c=a+b\)를 얻는다. 

따라서, \(c\)는 \(g(x)\)의 대칭축이 되는데 이 값이 \(g(a)=1\)보다 작고, 

\(0\)보다 크면서 정수여야하므로 이는 모순이다. 

 

2) \(g(a)=g(b)=p\)인 경우

\(g(x)=(x-a)(x-b)+p\)이고, \(g(c)=1\)이므로 \((c-a)(c-b)=1-p\)이다. 

\(h(x)=(x-a)(x-b)Q_2(x)+p\)로 두고 \(h(c)=1\)을 정리하면, \(Q_2(c)=-1\)을 얻는다. 

\(f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\)도 \((x-a)(x-b)(x-c)\)를 인수로 가지므로, 

\(g'(a)=-ph'(a), g'(b)=-ph'(b)\)를 정리하면, \(Q_2(a)=Q_2(b)=-1/p\)이다. 

따라서 \(h(x)=(x-a)^2(x-b)^2-(x-a)(x-b)/p+1\)이 정수계수 다항식이다.

이 때, \(2\)차항 계수가 정수가 될 수 없으므로 모순이다. 

 

모든 경우에 모순이므로, 두 정수계수 다항식으로 인수분해될 수 없다.