2024 6월 모의고사 미적분 해설

28번이 상당히 훌륭했다. 29, 30도 6월 범위에 맞게 적당한 난이도로 나왔다. 

 

[28]

이문제는 함수를 직접 구하는 방식이 수월하다. 

항등식 문제는 직접 구하기(240628), 수치대입과 미분(260628) 자유자재로 해야한다.

수학은 어느한쪽이 만사가 아니고 다 잘해야 1등급이 될 수 있다. 

 

(가)조건을 보고  \((f(x)+1)^2=(g(x))^2 \)  으로 변형하자. 

이를 통해 함수는 두 경우중 선택해야하며, (나)을 통해 어떻게 선택할지 알 수 있다.

\(g(x)= a\cos^3(\pi x)e^{\sin^2(\pi x)} +b+1\)로 두면,  \(x=1\)에서 극소&선대칭 개형이다.

\(g(x)\)개형과 \(\sqrt{g(x)}\)은 개형은 동일하기 때문에 그래프를 직접 그릴 수 있다. 

이 때, \(f(x)+1\)는 \(\sqrt{g(x)}\)와 \(-\sqrt{g(x)}\)를 가지고, \(f(0)\)은 \(\sqrt{g(x)}\)를 선택하고, 

\(f(2)\)는 \(-\sqrt{g(x)}\)를 선택하므로, 두 그래프가 연속으로 이어지려면, \(g(1)=0\)이다. 

이제 \(a, b\)를 구할 수 있다. 

 

[29]

식을 뽑는건 어렵지 않은데 \(k\)로 나눠서 식을 조작하는 능력이 필요하다. 

이런 느낌은 기출에 종종 있다.  

 

[30]

재밌는 문제. 다만, 난이도면에선 추론이 너무 얕게 들어갔다. 

(가),(나)조건을 통해 수렴하므로 \(|r|<1\)이고, 합의 부호가 달라지므로 \(r<0\)이다. 

또한, \(b_3=-1\)이므로, \(a_3<-1\)이고, 이는 짝수항이 양수, 홀수항이 음수임을 의미한다. 

(가)조건에 의해 합이 \(-3\)이므로, \(b_5\neq-1\) 이다. 이제 다 끝났다.