2021 수학 가형 주요문항 손풀이

 

 

#20

정말 좋은 문제. 치역이 0과 1이고 연속이 되어야하니, 적절히 0과 1을 써서 

\(f(x)\) 를 그대로 살리거나 0으로 만들어야 한다. 

이제 어떻게 개형을 정할지 2개의 조건이 주어진다. 

 

1. \([-1,1] \) 적분이 \(2\)이다. 

이 부분에서 개형을 정하는걸 뽑아내는게 쉽지 않다. 

\(f(nx)\)에서 \({1}/{2n} \) 부분 조각의 넓이가 \(1/n \)임을 찾고, 

총합이 \(2\)가 되려면, 양수부분이 \(2n \)개 있어야 하는데, 양수부분은 정확히 

\([-1,1]\)에 \(2n\)개가 존재하므로, \(h(x)\)는 양수부분만 살린 함수임을 알 수 있다.  

 

2. 이제 \(x\)를 곱해서 \(xh(x)\)를 적분시킨다. 

이 부분에서도 적분조각별로 넓이를 나눠서 계산하면 시간이 엄청 걸리고 실수한다. 

\(  \pi xsin(2n\pi x) \)의 개형을 그려서 조각을 옮겨서 적분해주면 계산이 쉽다.

 

 

#21

그냥 쌩대입문제. 

 

#27

우선 자연수 이전에 유리수가 되어야하니, \(n=2^k\)꼴이다. 

이를 대입하면, \({3k+2}/{4}\)가 \(40\)이하의 자연수가 되어야 하니, 

\(4|3k+2 \to 4|k-2 \) 이다. 따라서 \(k=4s+2\)로 두고 식정리를 해주면 된다. 

 

#28

(가)조건에서 \(x=g(t)\)로 치환하자.

\(g(t)\)는 단조증가라서 치환해도 미분가능성판단에 영향이 없다. 

이제 \(t(t^2+1)|f(t)|\)의 미분가능성만 보면 된다. \(t^2+1>0\)이므로 \(|f(t)|\)에 영향이 없다. 

따라서 \(t|f(t)|\)가 미분가능하므로,  \(a=0\)이다. \(b=0\)이면 \(a\)에서 미분불능이기 때문

나머진 잔계산

 

#29

확통 주관식은 조심 또 조심해야 한다.

 

0. 전제:  [흰<검] 인 학생을 A,B라고 하고, 최종적으로 3을 곱한다. 

 

1. A의 검은모자가 4개

(1) B검=2 

(2) B검=1

 

2. A의 검은모자가 5개 >> B검=1

로 경우를 나누면 된다. 흰모자 개수는 중복조합으로 잘 세주자.

 

 

#30

합성함수 \(F(G(x))\)의 극대는 \(G(x)\)가 극대 또는 \(F(x)\)가 \(x=a\)에서 극대일 때, 

\(G(x*)=a\)인 \(x*\)에서 갖게 된다.  (둘이 겹치는 경우 별도 계산)

이를 통해 개형을 개형을 2가지로 결정할 수 있고, 계산을 통해 한쪽이 모순임을 보이는건

어렵지 않아 손풀이로 대체함