재밌는 논술문제

 

 

2018 한양대 의대논술 마지막 문제이다. 

 

 

Hint) 

\(m, n\)이 모두 변수일 때  \(a_k\)를 계산하는건 매우 복잡하다. \(m=2\)일 때부터 쉽게 생각해보자. 

 

 

풀이)

\(m\)에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. 

 

[Step 1] \(m=2\)일 때 보자. 

\( P(x)=(x^2-2x+1)(x+1)^n\) 에서 \(a_k\)를 구하자.

\(k\geq 2\)에 대해

$$ a_k=\binom{n}{k-2}-2\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} $$

가 된다. 이제 어떤 \(k\)에 대해 \(a_k=a_{k+1}=0\)이라고 가정하자. 

\(a_k=0\)을 정리하면, 

$$  \binom{n}{k-2}+ \binom{n}{k}=2\binom{n}{k-1} $$

$$ \frac{n!}{(k-2)!(n-k+2)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{2n!}{(k-1)!(n-k+1)!} $$

$$ \frac{k-1}{n-k+2}+\frac{n-k+1}{k}=2 $$

을 얻는다. 위 식을 풀면 \(n=2k+2 \) 또는 \(n=2k-3\)을 얻는다.

이 때, \(a_{k+1}=0\)이므로, \(n=2k+4\) 또는 \(n=2k-1\)도 성립한다. 

두 조건을 모두 만족하는 \(n\)은 존재하지 않으므로, \(k\geq 2\)일 때 연속된 \(0\)인 두 항은 존재하지 않는다.

\(a_2=n(n-1)/2-2n+1\)이고  \(a_1=n-2, a_0=1\)이다.

즉 \(a_0, a_1\)과 \(a_1, a_2\) 모두 0이 되는 경우도 없다.

따라서 연속된 0이 되는 두 항은 존재하지 않는다. 

 

 

[Step 2] \(m=M\)일 때 연속된 두 항이 모두 \(0\)인 상황이 존재하지 않는다고 가정하자.

 

 

[Step 3] \(m=M+1\)일 때, \( P(x)=(1-x)^{M+1}(x+1)^n\)에서 \(x^k\)의 계수를 구하면,

$$ P(x)=(1-x)(1-x)^M(x+1)^n=(1-x)(\sum_{k=0}^{M+n}a_kx^k) $$

$$ = \sum_{k=0}^{M+n}a_kx^k-\sum_{k=0}^{M+n}a_kx^{k+1} = a_0+\sum_{k=1}^{M+n}(a_k-a_{k-1})x^k-a_{M+n}x^{M+n+1} $$

가 되므로, 귀납가정에 의해, \(0\leq k\leq M+n\)에 대해 \(a_k-a_{k-1}\neq 0\)이다. 

그리고 \(a_0=1\)이고, \(a_{M+n}=(-1)^{m+n}\)이다. 

따라서 \(m=M+1\)인 경우에도 연속된 \(0\)인 두 항을 찾을 수 없다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 문제가 증명되었다.