재밌는 논술문제

 

 

2018 한양대 의대논술 마지막 문제이다. 

 

 

Hint) 

$m,n$이 모두 변수일 때  $a_k$를 계산하는건 매우 복잡하다. $m=2$일 때부터 쉽게 생각해보자. 

 

 

풀이)

$m$에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. 

 

[Step 1] $m=2$일 때 보자. 

$P(x)=(x^2-2x+1)(x+1{)}^n$ 에서 $a_k$를 구하자.

$k\ge 2$에 대해

$$a_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-2})-2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$

가 된다. 이제 어떤 $k$에 대해 $a_k=a_{k+1}=0$이라고 가정하자. 

$a_k=0$을 정리하면, 

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})$$

$$\frac{n!}{(k-2)!(n-k+2)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{2n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$$

$$\frac{k-1}{n-k+2}+\frac{n-k+1}{k}=2$$

을 얻는다. 위 식을 풀면 $n=2k+2$ 또는 $n=2k-3$을 얻는다.

이 때, $a_{k+1}=0$이므로, $n=2k+4$ 또는 $n=2k-1$도 성립한다. 

두 조건을 모두 만족하는 $n$은 존재하지 않으므로, $k\ge 2$일 때 연속된 $0$인 두 항은 존재하지 않는다.

$a_2=n(n-1)/2-2n+1$이고  $a_1=n-2,a_0=1$이다.

즉 $a_0,a_1$과 $a_1,a_2$ 모두 0이 되는 경우도 없다.

따라서 연속된 0이 되는 두 항은 존재하지 않는다. 

 

 

[Step 2] $m=M$일 때 연속된 두 항이 모두 $0$인 상황이 존재하지 않는다고 가정하자.

 

 

[Step 3] $m=M+1$일 때, $P(x)=(1-x{)}^{M+1}(x+1{)}^n$에서 $x^k$의 계수를 구하면,

$$P(x)=(1-x)(1-x{)}^M(x+1{)}^n=(1-x)(\sum _{k=0}^{M+n}{a}_k{x}^k)$$

$$=\sum _{k=0}^{M+n}{a}_k{x}^k-\sum _{k=0}^{M+n}{a}_k{x}^{k+1}=a_0+\sum _{k=1}^{M+n}(a_k-a_{k-1})x^k-a_{M+n}{x}^{M+n+1}$$

가 되므로, 귀납가정에 의해, $0\le k\le M+n$에 대해 $a_k-a_{k-1}\ne 0$이다. 

그리고 $a_0=1$이고, $a_{M+n}=(-1{)}^{m+n}$이다. 

따라서 $m=M+1$인 경우에도 연속된 $0$인 두 항을 찾을 수 없다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 문제가 증명되었다.