2015 고등KMO 1번 (정수)

 

 

풀이)

$x-2y=a,1-2y=b$라고 하자. 식을 정리하면 $ab|a^2+b^2-2ab+2a$ 가 된다. 

이제 $a$를 나누는 어떤 소수 $p$가 존재하여 최대지수가 홀수($2k+1$)이라 하자. 

$p^{2k+1}|a|b^2$ 이므로, $p^{k+1}|b$이다. 

따라서 $p^{3k+2}|ab|a^2+b^2+2a$ 이고, $p^{4k+2}|a^2$이므로, 

$p^{3k+2}|b^2+2a$ 이다. 

$a=p^{2k+1}A,b=p^{k+1}B$이라 하자. (단, $gcd(p,A)=1$이다.)

$$p^{3k+2}|p^{2k+1}(pB+2A)\to p^{k+1}|pB+2A$$

따라서 $p|p^{k+1}|pB+2A\to p|A$가 되어 $gcd(p,A)=1$인 것에 모순이다.

따라서 $a$를 나누는 모든 소수 $p$에 대해 최대지수는 짝수가 되므로, $|a|$는 제곱수이다.