2015 고등KMO 1번 (정수)

 

 

풀이)

\(x-2y=a , 1-2y=b\)라고 하자. 식을 정리하면 \(ab | a^2+b^2-2ab+2a\) 가 된다. 

이제 \(a\)를 나누는 어떤 소수 \(p\)가 존재하여 최대지수가 홀수(\(2k+1\))이라 하자. 

\(p^{2k+1} | a | b^2\) 이므로, \(p^{k+1} | b\)이다. 

따라서 \(p^{3k+2} | ab | a^2+b^2+2a\) 이고, \(p^{4k+2} | a^2\)이므로, 

\( p^{3k+2}  | b^2+2a\) 이다. 

\(a=p^{2k+1}A , b=p^{k+1}B\)이라 하자. (단, \(gcd(p, A)=1\)이다.)

$$ p^{3k+2} | p^{2k+1}(pB+2A)  \to p^{k+1} | pB+2A $$

따라서 \( p | p^{k+1} | pB+2A \to p|A\)가 되어 \(gcd(p, A)=1\)인 것에 모순이다.

따라서 \(a\)를 나누는 모든 소수 \(p\)에 대해 최대지수는 짝수가 되므로, \(|a|\)는 제곱수이다.