IMO 2022 Problem2

 

문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며, \(x\)에 대응되는 \(y\)가 반드시 1개만 존재한다..

 

풀이)

Claim 1. 임의의 \(x\)에 대응되는 \(y_{x}\)가 \(x\)이다.

귀류법으로 \( y_x\neq x\)이라 하자. 그렇다면, 쌍 \((x, x)\)는 부등식 \(xf(y)+yf(x)>2\) 을 만족해야 한다.

따라서 \(xf(x)>1\)이다. 이제 쌍 \((x, y_x)\)을 대입하면, 

$$ 2\geqslant xf(y_x)+y_xf(x)>\frac{x}{y_x}+\frac{y_x}{x}>2\sqrt{\frac{x}{y_x}\frac{y_x}{x}}=2 $$

이므로 모순

따라서 \(y_x=x\)이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+} \)에 대해 \(xf(x)\leqslant 1\)이다.

 

Claim 2. \(\forall x\in \mathbb{R}^{+} \)에 대해 \(xf(x)\geqslant 1\) 이다.

귀류법으로 \(\exists s : sf(s)< 1\) 이라 하자. 

즉, \(f(s)< 1/s \) 이므로, 어떤 \(\varepsilon > 0\)이 존재하여, \(f(s)=1/(s+\varepsilon )\) 이다.

이제 쌍 \((s, s+\varepsilon )\)을 식에 대입하면 아래와 같이 정리된다.

$$ sf(s+\varepsilon )+(s+\varepsilon)f(s)>2 \Leftrightarrow sf(s+\varepsilon) > 1 $$

Claim1에 의해, \( sf(s+\varepsilon) > 1 \geqslant  (s+ \varepsilon )f( s+\varepsilon )\) 이므로,

\(\varepsilon f(s+ \varepsilon ) < 0\) 이 되어 모순이다. 

따라서 \(\forall x\in \mathbb{R}^{+} \)에 대해 \(xf(x)\geqslant 1\) 이다.

 

Claim 1, 2에 의해, \(f(x)=1/x\) 이다.