2022 KMO 4번

매우 좋은 문제!! 되게 Well-Known같은 문제인데 나는 처음 풀어본다.  

요즘 중등 KMO문제는 많은 경시지식보다 간단한 아이디어 step을 밟아나가는걸 자주 내서 풀기 재밌다.   

 

풀이)

\(x=1, y=1\)을 대입하여 \(f(1) | f(2)\)를 얻는다. 

\(y=1\)을 대입하여 귀납적으로 모든 \(m\)에 대해 \(f(1)|f(m)\)을 얻는다. 

또한, 항상 \(f(x+y)>f(x)\)이므로, \(f(x)\)는 증가함수이다. 

\(g(x)=f(x)/f(1)\)로 정의하면, \(g(1)=1\)이고, \(g\)는 증가함수이므로, \(g(x) \geqslant x\)이다. ....(1)

위 대입한 식을 \(g(x)\)로 정리하여 다음 두 조건을 얻는다. (\(M=2022^{2022}\)라고 하자.)

$$  g(x+1)-g(x)\leqslant M $$

$$ \frac{g(x+1)-1}{g(x)}\in \mathbb{N} , \frac{g(x+1)-1}{g(x)}\leqslant M $$

어떤 \(x \geqslant M\)에 대해 \( {g(x+1)-1}/{g(x)} =k , k\geqslant 2\) 이라 가정하자. 

$$  M \geqslant g(x+1)-g(x)=(k-1)g(x)+1 \geqslant g(x)+1 \geqslant x+1$$

이므로 모순이다. 따라서 모든 \(x \geqslant M\)에 대해 \(g(x+1)-g(x)=1\)이 성립한다. 

따라서 모든 \(x \geqslant M, y \geqslant 1\)에 대해 \(g(x+y)-g(x)=y\)가 성립한다.

따라서 

$$ \frac{g(x+y)-g(x)}{g(y)}=\frac{y}{g(y)}\geqslant 1 $$

이므로 \(g(x) \leqslant x\)이다. .... (2)

(1), (2)에 의해 \(g(x)=x\) 이다.

따라서 \(f(x)=cx(c\in \mathbb{N})\)을 얻는다.