2022 KMO 4번

매우 좋은 문제!! 되게 Well-Known같은 문제인데 나는 처음 풀어본다.  

요즘 중등 KMO문제는 많은 경시지식보다 간단한 아이디어 step을 밟아나가는걸 자주 내서 풀기 재밌다.   

 

풀이)

$x=1,y=1$을 대입하여 $f(1)|f(2)$를 얻는다. 

$y=1$을 대입하여 귀납적으로 모든 $m$에 대해 $f(1)|f(m)$을 얻는다. 

또한, 항상 $f(x+y)>f(x)$이므로, $f(x)$는 증가함수이다. 

$g(x)=f(x)/f(1)$로 정의하면, $g(1)=1$이고, $g$는 증가함수이므로, $g(x)⩾x$이다. ....(1)

위 대입한 식을 $g(x)$로 정리하여 다음 두 조건을 얻는다. ($M={2022}^{2022}$라고 하자.)

$$g(x+1)-g(x)⩽M$$

$$\frac{g(x+1)-1}{g(x)}\in \mathbb{N},\frac{g(x+1)-1}{g(x)}⩽M$$

어떤 $x⩾M$에 대해 $g(x+1)-1/g(x)=k,k⩾2$ 이라 가정하자. 

$$M⩾g(x+1)-g(x)=(k-1)g(x)+1⩾g(x)+1⩾x+1$$

이므로 모순이다. 따라서 모든 $x⩾M$에 대해 $g(x+1)-g(x)=1$이 성립한다. 

따라서 모든 $x⩾M,y⩾1$에 대해 $g(x+y)-g(x)=y$가 성립한다.

따라서 

$$\frac{g(x+y)-g(x)}{g(y)}=\frac{y}{g(y)}⩾1$$

이므로 $g(x)⩽x$이다. .... (2)

(1), (2)에 의해 $g(x)=x$ 이다.

따라서 $f(x)=cx(c\in \mathbb{N})$을 얻는다.