재밌는 문제 - 중등 KMO 2021 2번

 

경시지식 없이도 풀 수 있는 정수론 문제다. 

 

Hint1)

$a_1$부터 차근차근 구해보면 저 3번째 식의 값이 계속 작아진다. 그럼 저 값이 0이 된다면?

 

Hint2)

0이 안된다고 가정하고 식을 세우면 수열 $b_k$가 감소수열이다.

 

풀이)

$S_k=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i+1}{a}_i,b_k=S_k/k$ 로 정의하자. 

편의상 $N={2021}^{2021}$이라 하자. 

만약 어떤 $t$에 대해 $S_t=0$이라면, $S_{t+1}=S_t+(-1{)}^t{a}_t=(-1{)}^t{a}_{t+1}$가 $t+1$의 배수인데, 

$a_{t+1}<t+1$ 이므로, $a_{t+1}=0$이다. 따라서 $S_{t+1}=0$이고, 계속해서 $0$이 된다. 

따라서 어떤 $t<2021N$에 대해 $S_t=0$ 이라면, 문제의 답은 0이 된다. 

 

이제 귀류법으로 모든 $t<2021N$에 대해 $S_t\ne 0$이라 하자. 

$$b_{k+1}=\frac{k}{k+1}{b}_k+\frac{(-1{)}^k{a}_{k+1}}{k+1}(a)$$

가 성립함은 쉽게 알 수 있다.  

이제 이런 가정 하에서 $b_k>0$ 이 성립함을 확인하자. 

만약 $b_k$와 $b_{k+1}$의 부호가 다르다면, $S_{k+1}-S_k$의 절댓값은 $2k+1$이상이다.

왜냐하면, $|b_k|⩾1,|S_k|⩾k$ 그런데 두 값의 실제 차이의 절댓값은 $a_{k+1}$이므로

모순이다. 따라서 $k<2021N$에 대해 $b_k$는 부호가 동일하다. 이 때, $b_1=N>0$ 이므로 

$k<2021N$에 대해 $b_k>0$이다. 

 

이제 (a)식을 경우를 나눠 정리하자. 

$k$가 짝수인 경우  

$$b_{k+1}=\frac{k}{k+1}{b}_k+\frac{a_{k+1}}{k+1}<b_k+1$$

이므로, $b_{k+1}⩽b_k$이다.

 

$k$가 홀수인 경우 

$$b_{k+1}=\frac{k}{k+1}{b}_k-\frac{a_{k+1}}{k+1}<b_k$$

이므로, $b_{k+1}⩽b_k-1$이다.

 

따라서 $b_{k+2}⩽b_k-1$ 이 성립한다. $b_1=N$ 이라 두면, 

$$b_{2N+1}⩽N-\frac{2N}{2}⩽0$$

이므로 모순이다. 

 

따라서 어떤 $t<N$에 대해 $S_t=0$이 성립한다.

따라서 $a_i=0(i>t)$이다. 따라서 $a_{2021N}=0$이다.