재밌는 문제 - 중등 KMO 2021 2번

 

경시지식 없이도 풀 수 있는 정수론 문제다. 

 

Hint1)

\(a_1\)부터 차근차근 구해보면 저 3번째 식의 값이 계속 작아진다. 그럼 저 값이 0이 된다면?

 

Hint2)

0이 안된다고 가정하고 식을 세우면 수열 \(b_k\)가 감소수열이다.

 

풀이)

\(S_k=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}a_i , b_k=S_k/k  \) 로 정의하자. 

편의상 \(N=2021^{2021}\)이라 하자. 

만약 어떤 \(t\)에 대해 \(S_t=0\)이라면, \(S_{t+1}=S_t+(-1)^t a_t = (-1)^ta_{t+1}\)가 \(t+1\)의 배수인데, 

\(a_{t+1}<t+1\) 이므로, \(a_{t+1}=0\)이다. 따라서 \(S_{t+1}=0\)이고, 계속해서 \(0\)이 된다. 

따라서 어떤 \(t<2021N\)에 대해 \(S_t=0\) 이라면, 문제의 답은 0이 된다. 

 

이제 귀류법으로 모든 \(t<2021N\)에 대해 \(S_t\neq 0\)이라 하자. 

$$ b_{k+1}=\frac{k}{k+1}b_k+\frac{(-1)^ka_{k+1}}{k+1} (a)$$

가 성립함은 쉽게 알 수 있다.  

이제 이런 가정 하에서 \(b_k > 0\) 이 성립함을 확인하자. 

만약 \(b_k\)와 \(b_{k+1}\)의 부호가 다르다면, \(S_{k+1}-S_k\)의 절댓값은 \(2k+1\)이상이다.

왜냐하면, \(|b_k|\geqslant 1 , |S_k|\geqslant k\) 그런데 두 값의 실제 차이의 절댓값은 \(a_{k+1}\)이므로

모순이다. 따라서 \(k<2021N\)에 대해 \(b_k\)는 부호가 동일하다. 이 때, \(b_1=N>0\) 이므로 

\(k<2021N\)에 대해 \(b_k > 0\)이다. 

 

이제 (a)식을 경우를 나눠 정리하자. 

\(k\)가 짝수인 경우  

$$ b_{k+1}=\frac{k}{k+1}b_k+\frac{a_{k+1}}{k+1}<b_k+1  $$

이므로, \(b_{k+1}\leqslant b_k\)이다.

 

\(k\)가 홀수인 경우 

$$ b_{k+1}=\frac{k}{k+1}b_k-\frac{a_{k+1}}{k+1}<b_k $$

이므로, \(b_{k+1}\leqslant b_k-1\)이다.

 

따라서 \(b_{k+2} \leqslant b_{k}-1\) 이 성립한다. \(b_1=N\) 이라 두면, 

$$ b_{2N+1} \leqslant N-\frac{2N}{2} \leqslant 0  $$

이므로 모순이다. 

 

따라서 어떤 \(t<N\)에 대해 \(S_t=0\)이 성립한다.

따라서 \(a_i=0 ( i > t) \)이다. 따라서 \(a_{2021N}=0\)이다.