대수4 2009 IMO P5 (함수방정식) 다음 조건을 만족하는 함수 f:N→N을 모두 구하여라. (조건) 모든 양의 정수 a,b에 대하여, a,f(b),f(b+f(a)−1)을 세 변으로 하는 삼각형이 존재한다. (단, 세 꼭짓점이 일직선상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.) hint1)더보기우리가 확신할 수 있는 값은 a뿐이다. 이걸 통해 등식을 찾을 수 있을까? hint2)더보기f(1)을 구하는게 문제를 관통하는 흐름이다. hint3)더보기등식을 얻었다면, 답을 예상할 수 있고 그렇다면 귀납적으로 해결해보자. sol)더보기주어진 식을 만족하는 함수 f가 존재한다고 가정하자.P(x,y)는 주어진 조건에 a=x,b=y를.. 2025. 1. 31. 2021 IMO Problem 6 [대수/조합] 문제: 2 이상의 양의 정수 m에 대하여 정수들의 유한집합 A의 부분집합 B1,B2,...,Bm은 각각의 k=1,2,...,m에 대하여 Bk의 모든 원소의 합이 mk이다. 이 때, n(A)≥m/2임을 증명하여라. 2021 국제수학올림피아드 마지막 문제이다. 짧지만 풀기 어려운 문제다. hint 1) 더보기 m1,m2,...,mk를 보니 왠지 m진법이 떠오른다. hint 2) 더보기 더블카운팅을 이용해보자. 풀이) 더보기 A={a1,a2,...,an}라고 하자. Bk는 원소의 합이 mk이므로, 다음과 같이 표현 가능하다. $$ m^k.. 2023. 12. 19. 재밌는 대수문제 2개 시험기간이라 그런지 요즘 경시문제푸는게 시간순삭이다 문제: 양의 정수 a1,a2,...,an과 k,M은 다음 조건을 만족시킨다. 1a1+1a2+...+1an=k,a1a2...an=M 이 때, M>1이면 다항식 P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)...(x+an)은 양의 실근을 갖지 않음을 증명하여라. basic한 아이디어를 사용하는 문제. IMO shortlist A1문제이다. hint) 더보기 부등식 0순위 산술기하를 잘 써보자. 풀이) 더보기 산술기하 부등식에 의해, x>0에 대해 다음 식이 성립한다. $$ x+a_i=(x+1)+(a_i-1)=.. 2023. 12. 10. IMO 2022 Problem2 문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며, x에 대응되는 y가 반드시 1개만 존재한다.. 풀이) 더보기 Claim 1. 임의의 x에 대응되는 yx가 x이다. 귀류법으로 yx≠x이라 하자. 그렇다면, 쌍 (x,x)는 부등식 xf(y)+yf(x)>2 을 만족해야 한다. 따라서 xf(x)>1이다. 이제 쌍 (x,yx)을 대입하면, 2⩾ 이므로 모순 따라서 yx=x이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+}.. 2023. 10. 30. 이전 1 다음
