어려운 정수론 문제 2개
문제1: 소수 \(p\)와 양의 정수 \(a_1, a_2, ... , a_p\)에 대하여 다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(k\)가 존재함을 보여라. $$ a_1+k, a_2+2k, ... , a_p+pk $$ 를 \(p\)로 나눈 나머지들이 적어도 \(p/2\)개 이상의 서로 다른 값를 갖는다. [2018 USAMO P4] (sol) 더보기 \(k=1, 2, ... , p\)에 대해 무향그래프 \(G=G_1, G_2, ... , G_p\) 를 구성하자. \(a_i\)에 해당하는 점을 \(i\)로 둔다. \(a_i+ik\equiv a_j+jk \quad(\textup{mod} \; p) \)를 만족하면 점 \(i\)와 \(j\)를 잇는다. (단, \(i < j\)) 이 때, $$ a_i+ik\equiv..
2023. 12. 26.
멋진 정수론 문제들
정말 좋은 문제들이니 충분한 고민을 거쳐 풀어보자. 문제1 : 다음 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍 \((a, b, c)\) 을 모두 구하여라. $$ \textup{lcm}(a, b, c)=\frac{ab+bc+ca}{4} $$ [Japan 2020 Final] (sol) 더보기 일반성을 잃지않고 \(a \geq b \geq c \)라고 하자. \(a | \textup{lcm}(a,b,c) \)이고 \(a|ab+ca\)이므로 \(a|bc\)이다. 따라서 \(\textup{lcm}(a,b,c) \leq bc\)가 성립한다.. 즉, 최댓값이 \(bc\)이고 \(\textup{gcd}(b, c)>1\)이라면 \(bc/p \)꼴이 된다. 그런데, \(ab+bc+ca \geq 3bc\)이므로, $$ \frac{..
2023. 12. 21.