재밌는 함수부등식 문제

 

다음 조건을 만족하는 함수 $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ 를 구하여라. (${\mathbb{R}}^{+}$는 양의 실수 집합)

모든 실수 $x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$에 대하여, 

 $$x(f(x)+f(y))⩾(f(f(x))+y)f(y)$$

를 만족한다. 

[2023 IMO Shortlist A4]

 

 

sol)

주어진 조건을 만족하는 함수 $f$가 존재한다고 가정하자. 

$P(a,b)$는 주어진 식에 $x=a,y=b$를 대입하여 정리한 식을 표기한다. 

$f_{}^k(x)$는 함수 $f$를 $k$번 합성한 함수를 표기하고,  $f^0(x)=x$이다.  

 

$P(x,x):f(f(x))⩽x$ 를 얻는다. 

$P(f(x),x):f(f(f(x)))-f(x)⩽f(f(x))-x$를 얻는다. 

이제 위 부등식을 귀납적으로 정리하면, 

 $$f_{}^{2k}(x)-f_{}^{2k-2}(x)⩽f(f(x))-x$$

를 얻는다. 이 식을 $k=1,2,...,N$에 대해 모두 더하여 정리하면, 

$$f_{}^{2N}(x)⩽x+N(f(f(x))-x)$$

를 얻는다. 

어떤 $a\in {\mathbb{R}}^{+}$가 존재하여 $f(f(a))=a-\epsilon$라고 가정하면, (단, $\epsilon >0$) 

 $$f_{}^{2N}(a)⩽a+N(f(f(a))-a)=a-N\epsilon$$

이므로 충분히 큰 $N$에 대하여 $f_{}^{2N}(a)<0$이 되어 모순이다. 

따라서 모든 양의 실수 $x$에 대해 $f(f(x))=x$이다. 이 식을 준식에 대입하여 정리하면

$xf(x)⩾yf(y)$이고, $P(y,x):yf(y)⩾xf(x)$이므로

$xf(x)=c$ 즉, $f(x)=c/x$를 얻는다. (단, $c$는 임의의 양의 실수)

이 함수를 주어진 식에 대입하면 잘 성립한다.