재밌는 함수부등식 문제

 

다음 조건을 만족하는 함수 \(f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) 를 구하여라. (\( \mathbb{R}^+\)는 양의 실수 집합)

모든 실수 \(x, y\in \mathbb{R}^+\)에 대하여, 

 $$ x(f(x)+f(y))\geqslant (f(f(x))+y)f(y) $$

를 만족한다. 

[2023 IMO Shortlist A4]

 

 

sol)

주어진 조건을 만족하는 함수 \(f\)가 존재한다고 가정하자. 

\(P(a, b)\)는 주어진 식에 \(x=a, y=b\)를 대입하여 정리한 식을 표기한다. 

\( f_{}^{k}(x)\)는 함수 \(f\)를 \(k\)번 합성한 함수를 표기하고,  \(f^{0}(x)=x\)이다.  

 

\(P(x, x): f(f(x))\leqslant x\) 를 얻는다. 

\(P(f(x),x):  f(f(f(x)))-f(x)\leqslant f(f(x))-x\)를 얻는다. 

이제 위 부등식을 귀납적으로 정리하면, 

 $$ f_{}^{2k}(x)-f_{}^{2k-2}(x)\leqslant f(f(x))-x $$

를 얻는다. 이 식을 \(k=1, 2, ..., N\)에 대해 모두 더하여 정리하면, 

$$ f_{}^{2N}(x)\leqslant x+N(f(f(x))-x) $$

를 얻는다. 

어떤 \(a \in \mathbb{R}^+ \)가 존재하여 \(f(f(a))=a- \varepsilon \)라고 가정하면, (단, \(\varepsilon >0\)) 

 $$ f_{}^{2N}(a)\leqslant a+N(f(f(a))-a)=a-N\varepsilon  $$

이므로 충분히 큰 \(N\)에 대하여 \( f_{}^{2N}(a)<0\)이 되어 모순이다. 

따라서 모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(f(f(x))=x\)이다. 이 식을 준식에 대입하여 정리하면

\(xf(x)\geqslant yf(y)\)이고, \(P(y,x): yf(y)\geqslant xf(x)\)이므로

\(xf(x)=c\) 즉, \(f(x)=c/x \)를 얻는다. (단, \(c\)는 임의의 양의 실수)

이 함수를 주어진 식에 대입하면 잘 성립한다.