멋진 정수론 문제들

 

정말 좋은 문제들이니 충분한 고민을 거쳐 풀어보자.

 

문제1 : 다음 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍 \((a, b, c)\) 을 모두 구하여라. 

$$ \textup{lcm}(a, b, c)=\frac{ab+bc+ca}{4}    $$ 

[Japan 2020 Final]

 

(sol)

일반성을 잃지않고 \(a \geq b \geq c \)라고 하자.

\(a | \textup{lcm}(a,b,c) \)이고 \(a|ab+ca\)이므로 \(a|bc\)이다.

따라서 \(\textup{lcm}(a,b,c) \leq bc\)가 성립한다.. 

즉, 최댓값이 \(bc\)이고 \(\textup{gcd}(b, c)>1\)이라면 \(bc/p \)꼴이 된다.

그런데, \(ab+bc+ca \geq 3bc\)이므로, 

$$ \frac{3bc}{4}\leq \textup{lcm}(a, b, c)\in \left\{ bc, \frac{bc}{2}, \frac{bc}{3}, ...\right\}  $$

이다. 따라서 \(\textup{lcm}(a,b,c)=bc\)이다. 또한 \(\gcd(b, c)=1\)이다. 

이제 식을 정리하면 \(a(b+c)=3bc \)이다. 

\(\textup{gcd}(b+c, bc)=\textup{gcd}(b,c)=1\)이므로 \(b+c | 3\)이 성립한다. 

따라서 \((b, c)=(2, 1)\)인 경우 \(a=2\)로 모든 조건을 만족한다. 

\(b+c=2\)인 경우 해가 없다. 

종합하면 \((a, b, c)\)는 (1, 2, 2)의 모든 순열이 가능하다. 

 

 

 

 

문제2: 서로 다른 양의 정수 \(a, b, c, d\)는 다음 조건을 만족한다. 

       $$ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d }+\frac{d}{d+a} \in \mathbb{N} $$

이 때, \(a+b+c+d\)가 소수가 아님을 증명하여라. 

[India TST 2017 P2]

 

(hint)

저 값이 자연수가 되는게 몇 개 없다..! 

 

(sol)

$$ S = \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d }+\frac{d}{d+a} $$ 라고 하자.

\(1<S<4\)는 자명하다. \(S=3\)인 경우 식을 정리하면, 

$$ \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d }+\frac{a}{d+a}  = 1 >\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1 $$

이 되어 모순이다. 

따라서, 

$$  \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d }+\frac{d}{d+a}=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d }+\frac{a}{d+a} (=2) $$

이다. 두 식을 빼서 정리하면, 

$$ \frac{2(ac-bd)(a-c)(b-d)}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}=0 \Rightarrow ac=bd $$

를 얻는다. 이제 식을 다시 쓰면, 

$$ \frac{a}{b}=\frac{d}{c}=\frac{r}{s}  $$

인 서로소인 정수 \(r, s\)이 존재한다. 따라서 \(a=xr, b=xs, c=ys, d=yr\)꼴로 표현할 수 있으므로, 

\(a+b+c+d=(x+y)(r+s)\)이 되어 합성수가 된다. 따라서 문제가 증명되었다. 

   

 

 

 

 

문제3: \(a>b>c>d\)를 만족하는 양의 정수 \(a, b, c, d\)는 다음 식을 만족한다. 

         $$ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c) $$

이 때, \(ab+cd\)는 소수가 아님을 증명하여라.

[2001 IMO P6]

 

(hint) 

식을 조작해보자. 

 

(sol)

다음의 두 식을 쉽게? 관찰할 수 있다. 

$$ b+d+a-c | ac+bd \Leftrightarrow b+d+a-c|a(c+(b+d+a-c))+bd=(a+b)(d+a) $$

$$ b+d-a+c | ac+bd \Leftrightarrow b+d-a+c|((b+d+c+a)-a))c+bd=(b+c)(c+d) $$

양변을 곱하면, 

$$ ac+bd | (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) \Leftrightarrow ac+bd|(ab+cd)(ad+bc) $$

을 얻는다. 이 때, \(a>b>c>d\)이므로 \(ab+cd>ad+bc>ac+bd\)이다. 

만약 \(ab+cd\)가 소수라고 가정하면, \(ab+cd\)는 \(ac+bd\)보다 큰 소수이기 때문에 둘은 서로소이다. 

따라서 \(ac+bd | ad+bc\)가 성립하고 이를 통해 \(ac+bd \leq ad+bc\)를 얻게 되어 크기에 모순이다.

따라서 \(ab+cd\)는 합성수가 된다.