부등식2 재밌는 경시문제 2개 APMO에 출제되었던 재밌는 두 문제를 소개한다. 문제 1. 양의 정수 \(a, b, c\)에 대해 \(a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b\) 모두가 완전제곱수가 되는 \(a, b, c\)는 존재하지 않음을 증명하여라. 풀이) 더보기 \(a^2+b+c\)는 \(a^2\) 보다 큰 완전제곱수이므로, \( a^2+b+c\geq (a+1)^2\) 가 성립한다. 즉, \(b+c\geq 2a+1\)이다. 마찬가지로, $$ \left\{\begin{matrix} b+c\geq 2a+1 \\ c+a\geq 2b+1 \\ a+b\geq 2c+1 \end{matrix}\right. $$ 이다. 세 변을 모두 더하면 \(0\geq 3\) 이므로 모순이다. 문제 2. 실수 수열 \(a_n\)는 모든 양의 정수 \.. 2023. 12. 5. IMO 2022 Problem2 문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며, \(x\)에 대응되는 \(y\)가 반드시 1개만 존재한다.. 풀이) 더보기 Claim 1. 임의의 \(x\)에 대응되는 \(y_{x}\)가 \(x\)이다. 귀류법으로 \( y_x\neq x\)이라 하자. 그렇다면, 쌍 \((x, x)\)는 부등식 \(xf(y)+yf(x)>2\) 을 만족해야 한다. 따라서 \(xf(x)>1\)이다. 이제 쌍 \((x, y_x)\)을 대입하면, $$ 2\geqslant xf(y_x)+y_xf(x)>\frac{x}{y_x}+\frac{y_x}{x}>2\sqrt{\frac{x}{y_x}\frac{y_x}{x}}=2 $$ 이므로 모순 따라서 \(y_x=x\)이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+}.. 2023. 10. 30. 이전 1 다음
