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APMO1

재밌는 경시문제 2개 APMO에 출제되었던 재밌는 두 문제를 소개한다. 문제 1. 양의 정수

a, b, c a, b, c <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi></math>

a 2 + b + c, b 2 + c + a, c 2 + a + b a^{2} + b + c, b^{2} + c + a, c^{2} + a + b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></math>

모두가 완전제곱수가 되는

a, b, c a, b, c <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi></math>

는 존재하지 않음을 증명하여라. 풀이) 더보기

a 2 + b + c a^{2} + b + c <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></math>

a 2 a^{2} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></math>

보다 큰 완전제곱수이므로,

a 2 + b + c \geq (a + 1) 2 a^{2} + b + c \geq (a + 1)^{2} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>\geq</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup></math>

가 성립한다. 즉,

b + c \geq 2 a + 1 b + c \geq 2 a + 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>\geq</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>

이다. 마찬가지로,

{b + c \geq 2 a + 1 c + a \geq 2 b + 1 a + b \geq 2 c + 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>\geq</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>\geq</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>\geq</mo><mn>2</mn><mi>c</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></math>

이다. 세 변을 모두 더하면

0 \geq 3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>\geq</mo><mn>3</mn></math>

이므로 모순이다. 문제 2. 실수 수열

a n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub></math>

는 모든 양의 정수 \.. 2023. 12. 5.

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