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함수방정식2

2009 IMO P5 (함수방정식) 다음 조건을 만족하는 함수

f : N \to N <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>:</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="double-struck">N</mi></mrow><mo accent="false" stretchy="false">\to</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="double-struck">N</mi></mrow></math>

을 모두 구하여라. (조건) 모든 양의 정수

a, b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math>

a, f (b), f (b + f (a) - 1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math>

을 세 변으로 하는 삼각형이 존재한다. (단, 세 꼭짓점이 일직선상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.) hint1)더보기우리가 확신할 수 있는 값은

a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>

뿐이다. 이걸 통해 등식을 찾을 수 있을까? hint2)더보기

f (1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math>

을 구하는게 문제를 관통하는 흐름이다. hint3)더보기등식을 얻었다면, 답을 예상할 수 있고 그렇다면 귀납적으로 해결해보자. sol)더보기주어진 식을 만족하는 함수

f <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math>

가 존재한다고 가정하자.

P (x, y) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>

는 주어진 조건에

a = x, b = y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>y</mi></math>

를.. 2025. 1. 31.

IMO 2022 Problem2 문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며,

x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>

에 대응되는

y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math>

가 반드시 1개만 존재한다.. 풀이) 더보기 Claim 1. 임의의

x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>

에 대응되는

y x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>y</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>x</mi></mrow></msub></math>

x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>

이다. 귀류법으로

y x \neq x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mo>\neq</mo><mi>x</mi></math>

이라 하자. 그렇다면, 쌍

(x, x) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>

x f (y) + y f (x) > 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>y</mi><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>&gt;</mo><mn>2</mn></math>

을 만족해야 한다. 따라서

x f (x) > 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>&gt;</mo><mn>1</mn></math>

이다. 이제 쌍

(x, y x) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>

을 대입하면,

2⩾xf(yx)+yxf(x)>xyx+yxx>2√xyxyxx=2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mn>2</mn><mo>⩾</mo><mi>x</mi><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>&gt;</mo><mfrac><mi>x</mi><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mi>x</mi></mfrac><mo>&gt;</mo><mn>2</mn><msqrt><mfrac><mi>x</mi><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub></mfrac><mfrac><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mi>x</mi></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mn>2</mn></math>

이므로 모순 따라서

y x = x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>y</mi><mi>x</mi></msub><mo>=</mo><mi>x</mi></math>

이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+}.. 2023. 10. 30.

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