함수방정식2 2009 IMO P5 (함수방정식) 다음 조건을 만족하는 함수 \(f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \)을 모두 구하여라. (조건) 모든 양의 정수 \(a, b\)에 대하여, \(a, f(b), f(b+f(a)-1)\)을 세 변으로 하는 삼각형이 존재한다. (단, 세 꼭짓점이 일직선상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.) hint1)더보기우리가 확신할 수 있는 값은 \(a\)뿐이다. 이걸 통해 등식을 찾을 수 있을까? hint2)더보기\(f(1)\)을 구하는게 문제를 관통하는 흐름이다. hint3)더보기등식을 얻었다면, 답을 예상할 수 있고 그렇다면 귀납적으로 해결해보자. sol)더보기주어진 식을 만족하는 함수 \(f\)가 존재한다고 가정하자.\(P(x,y)\)는 주어진 조건에 \(a=x, b=y\)를.. 2025. 1. 31. IMO 2022 Problem2 문제가 특이하다. 함수방정식이 아니라 함수부등식 문제이며, \(x\)에 대응되는 \(y\)가 반드시 1개만 존재한다.. 풀이) 더보기 Claim 1. 임의의 \(x\)에 대응되는 \(y_{x}\)가 \(x\)이다. 귀류법으로 \( y_x\neq x\)이라 하자. 그렇다면, 쌍 \((x, x)\)는 부등식 \(xf(y)+yf(x)>2\) 을 만족해야 한다. 따라서 \(xf(x)>1\)이다. 이제 쌍 \((x, y_x)\)을 대입하면, $$ 2\geqslant xf(y_x)+y_xf(x)>\frac{x}{y_x}+\frac{y_x}{x}>2\sqrt{\frac{x}{y_x}\frac{y_x}{x}}=2 $$ 이므로 모순 따라서 \(y_x=x\)이다. 즉, \(\forall x\in \mathbb{R}^{+}.. 2023. 10. 30. 이전 1 다음
