귀류법3 2018 한양대 의예 3번 2018 한양대 의대논술 마지막 문제이다. Hint) 더보기\(m, n\)이 모두 변수일 때 \(a_k\)를 계산하는건 매우 복잡하다. \(m=2\)일 때부터 쉽게 생각해보자. 풀이)더보기\(m\)에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. [Step 1] \(m=2\)일 때 보자. \( P(x)=(x^2-2x+1)(x+1)^n\) 에서 \(a_k\)를 구하자.\(k\geq 2\)에 대해$$ a_k=\binom{n}{k-2}-2\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} $$가 된다. 이제 어떤 \(k\)에 대해 \(a_k=a_{k+1}=0\)이라고 가정하자. \(a_k=0\)을 정리하면, $$ \binom{n}{k-2}+ \binom{n}{k}=2\binom{n}{k-1} $$$$ \frac.. 2023. 12. 4. 재밌는 문제 - [조합/정수론] 2023 인하대 의대논술 3번문제이다. 정수, 확률, 논리를 잘 물어보는 문항이다. 경시나 논술에 자주 나오는 나머지관찰(mod)이나 귀류법 증명등 유명한 접근법이 쓰였다. mod식 서술은 고등범위가 아니므로 서술하는데 꽤 까다롭다. 3-1, 3-2 a) 풀이) 더보기 3-2 (b) 풀이) 더보기 3-3 풀이) 더보기 2023. 11. 29. 2015 고등KMO 1번 (정수) 풀이) 더보기 \(x-2y=a , 1-2y=b\)라고 하자. 식을 정리하면 \(ab | a^2+b^2-2ab+2a\) 가 된다. 이제 \(a\)를 나누는 어떤 소수 \(p\)가 존재하여 최대지수가 홀수(\(2k+1\))이라 하자. \(p^{2k+1} | a | b^2\) 이므로, \(p^{k+1} | b\)이다. 따라서 \(p^{3k+2} | ab | a^2+b^2+2a\) 이고, \(p^{4k+2} | a^2\)이므로, \( p^{3k+2} | b^2+2a\) 이다. \(a=p^{2k+1}A , b=p^{k+1}B\)이라 하자. (단, \(gcd(p, A)=1\)이다.) $$ p^{3k+2} | p^{2k+1}(pB+2A) \to p^{k+1} | pB+2A $$ 따라서 \( p | p^{k+1} | .. 2023. 11. 15. 이전 1 다음
