2016 서울대구술 문제6번 풀이

 

 

 

 

라이프니츠식 표기를 알아야 쉽게 풀 수 있는 문제다. 수능에서도 라이프니츠식 표기로 유리한 경우도

종종 나오니, 합성함수의 라이프니츠 관점을 알아둘 필요가 있다. 

 

 

sol)

\(s(t)\)는 감소함수 \(y(t)\)를 기준으로 개미집까지 남은 거리를 의미한다. 

즉, 시간에 따라 개미집에 가까워지므로,  \(ds/dt<0 \)이다. 

이제 \(y=1/3\) 지점에서 시간과 \(y\)값과 \(s\)값을 \(t_1, y_1=1/3, s_1\)이라 한다.

개미집에 도달시, 시간과 \(y\)값과 \(s\)값을  \(t_2, y_2=0, s_2\)라 한다. 

시간차 \(t_2-t_1\)은 다음과 같이 치환적분 가능하다. 

$$ t_2-t_1= \int_{t_1}^{t_2}1dt=\int_{s_1}^{s_2}\frac{dt}{ds} ds=\int_{y_1}^{y_2}\frac{dt}{ds} \frac{ds}{dy}dy $$

이 때, 

$$ \frac{dt}{ds}=\frac{-1}{\sqrt{y^2-3y+2}} , \frac{ds}{dy}=S^{\prime}(y) $$

이므로, 

$$ t_2-t_1=\int_{y_1}^{y_2}\frac{-S^{\prime}(y)}{\sqrt{y^2-3y+2}}dy $$

이다. 이제 이를 치환적분 해주면, 

$$ [\frac{-S(y)}{\sqrt{y^2-3y+2}}]^{0}_{1/3}-\frac{1}{2}\int_{1/3}^{0}\frac{(2y-3)S(y)}{{(y^2-3y+2)}^{3/2}}dy$$

$$ = \frac{3}{\sqrt{10}}S(1/3)-\frac{1}{2}\int_{2/3}^{1}S(1-z)\frac {(2z+1)}{{(z^2+z)}^{3/2}}dz$$

$$ =\frac{3}{\sqrt{10}}S(1/3)- \frac{1}{2}A(2/3, 1) $$ 

을 얻는다.