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2006 China TST (정수) 문제 1. \( n | (a+1)^n-a^n \)을 만족하는 양의 정수 순서쌍 \((a, n)\)을 모두 찾아라. [2006 China TST] 풀이) 더보기 \(n>1\)이라고 하자. \(p\)를 \(n\)을 나누는 최소 소인수라 하자. 만약 \(p|a+1\) 또는 \(p|a\)라면 모두를 나누게 되어 모순이다. 따라서 \(\textup{gcd}(p,a)=\textup{gcd}(p,a+1)=1\)이다. 즉, \( \textup{mod}\; p\)에 대해 \(a\)의 역원 \(b\)가 존재한다. 따라서 다음 식을 얻는다. $$ (a+1)^n\equiv a^n (\textup{mod} \;p) \to (b+1)^n\equiv (ab+b)^n\equiv (ab)^n\equiv 1(\textup{mod} \;.. 2024. 2. 11.
멋진 정수론 문제들 정말 좋은 문제들이니 충분한 고민을 거쳐 풀어보자. 문제1 : 다음 조건을 만족하는 양의 정수 순서쌍 \((a, b, c)\) 을 모두 구하여라. $$ \textup{lcm}(a, b, c)=\frac{ab+bc+ca}{4} $$ [Japan 2020 Final] (sol) 더보기 일반성을 잃지않고 \(a \geq b \geq c \)라고 하자. \(a | \textup{lcm}(a,b,c) \)이고 \(a|ab+ca\)이므로 \(a|bc\)이다. 따라서 \(\textup{lcm}(a,b,c) \leq bc\)가 성립한다.. 즉, 최댓값이 \(bc\)이고 \(\textup{gcd}(b, c)>1\)이라면 \(bc/p \)꼴이 된다. 그런데, \(ab+bc+ca \geq 3bc\)이므로, $$ \frac{.. 2023. 12. 21.

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