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최대지수2

정수문제 2개 최대지수와 LTE Lemma 관련 문제를 풀다가 좋은 문제들을 소개한다. [문제1] 양의 정수

b, n > 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>&gt;</mo><mn>1</mn></math>

에 대해 다음 조건을 만족하면

b = A n <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>=</mo><msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup></math>

꼴임을 보여라. (단,

A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>

는 정수) (조건): 2이상의 모든 양의 정수

k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math>

b - a n k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>-</mo><msubsup><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup></math>

k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math>

의 배수가 되는 정수

a k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></math>

가 존재한다. [IMO SL 2007 N2] 최대지수에 대한 기본적인 성질들로 풀리는 멋진 문제이다. sol) 더보기 [Claim]

v p (x) \neq v p (y) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>\neq</mo><msub><mi>v</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>

v p (x \pm y) = min {v p (x), v p (y)} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>\pm</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mtext>min</mtext><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>v</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><msub><mi>v</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">}</mo></mrow></math>

이다. [Claim 증명]

x = p m u, y = p n v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mi>p</mi><mi>m</mi></msup><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup><mi>v</mi></math>

라고 하자... 2024. 2. 24.

2015 고등KMO 1번 (정수) 풀이) 더보기

x - 2 y = a, 1 - 2 y = b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>b</mi></math>

라고 하자. 식을 정리하면

a b | a 2 + b 2 - 2 a b + 2 a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi></math>

가 된다. 이제

a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>

를 나누는 어떤 소수

p <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math>

가 존재하여 최대지수가 홀수(

2 k + 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>

)이라 하자.

p 2 k + 1 | a | b 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math>

p k + 1 | b <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>b</mi></math>

이다. 따라서

p 3 k + 2 | a b | a 2 + b 2 + 2 a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi></math>

p 4 k + 2 | a 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>4</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></math>

p 3 k + 2 | b 2 + 2 a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi></math>

a = p 2 k + 1 A, b = p k + 1 B <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>=</mo><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>A</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>B</mi></math>

이라 하자. (단,

g c d (p, A) = 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mi>c</mi><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

p 3 k + 2 | p 2 k + 1 (p B + 2 A) \to p k + 1 | p B + 2 A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>p</mi><mi>B</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo accent="false" stretchy="false">\to</mo><msup><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>p</mi><mi>B</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>A</mi></math>

따라서 \( p | p^{k+1} | .. 2023. 11. 15.

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