최대지수2 정수문제 2개 최대지수와 LTE Lemma 관련 문제를 풀다가 좋은 문제들을 소개한다. [문제1] 양의 정수 \(b, n>1\)에 대해 다음 조건을 만족하면 \(b=A^n\)꼴임을 보여라. (단, \(A\)는 정수) (조건): 2이상의 모든 양의 정수 \(k\)에 대해 \(b-a_{k}^n\)이 \(k\)의 배수가 되는 정수 \(a_k\)가 존재한다. [IMO SL 2007 N2] 최대지수에 대한 기본적인 성질들로 풀리는 멋진 문제이다. sol) 더보기 [Claim] \( v_p(x)\neq v_p(y)\) 이면 \(v_p(x\pm y)=\textup{min}\begin{Bmatrix} v_p(x), v_p(y) \\ \end{Bmatrix}\) 이다. [Claim 증명] \(x=p^mu , y=p^nv\)라고 하자... 2024. 2. 24. 2015 고등KMO 1번 (정수) 풀이) 더보기 \(x-2y=a , 1-2y=b\)라고 하자. 식을 정리하면 \(ab | a^2+b^2-2ab+2a\) 가 된다. 이제 \(a\)를 나누는 어떤 소수 \(p\)가 존재하여 최대지수가 홀수(\(2k+1\))이라 하자. \(p^{2k+1} | a | b^2\) 이므로, \(p^{k+1} | b\)이다. 따라서 \(p^{3k+2} | ab | a^2+b^2+2a\) 이고, \(p^{4k+2} | a^2\)이므로, \( p^{3k+2} | b^2+2a\) 이다. \(a=p^{2k+1}A , b=p^{k+1}B\)이라 하자. (단, \(gcd(p, A)=1\)이다.) $$ p^{3k+2} | p^{2k+1}(pB+2A) \to p^{k+1} | pB+2A $$ 따라서 \( p | p^{k+1} | .. 2023. 11. 15. 이전 1 다음