위수2 정수문제 2개 최대지수와 LTE Lemma 관련 문제를 풀다가 좋은 문제들을 소개한다. [문제1] 양의 정수 \(b, n>1\)에 대해 다음 조건을 만족하면 \(b=A^n\)꼴임을 보여라. (단, \(A\)는 정수) (조건): 2이상의 모든 양의 정수 \(k\)에 대해 \(b-a_{k}^n\)이 \(k\)의 배수가 되는 정수 \(a_k\)가 존재한다. [IMO SL 2007 N2] 최대지수에 대한 기본적인 성질들로 풀리는 멋진 문제이다. sol) 더보기 [Claim] \( v_p(x)\neq v_p(y)\) 이면 \(v_p(x\pm y)=\textup{min}\begin{Bmatrix} v_p(x), v_p(y) \\ \end{Bmatrix}\) 이다. [Claim 증명] \(x=p^mu , y=p^nv\)라고 하자... 2024. 2. 24. 2006 China TST (정수) 문제 1. \( n | (a+1)^n-a^n \)을 만족하는 양의 정수 순서쌍 \((a, n)\)을 모두 찾아라. [2006 China TST] 풀이) 더보기 \(n>1\)이라고 하자. \(p\)를 \(n\)을 나누는 최소 소인수라 하자. 만약 \(p|a+1\) 또는 \(p|a\)라면 모두를 나누게 되어 모순이다. 따라서 \(\textup{gcd}(p,a)=\textup{gcd}(p,a+1)=1\)이다. 즉, \( \textup{mod}\; p\)에 대해 \(a\)의 역원 \(b\)가 존재한다. 따라서 다음 식을 얻는다. $$ (a+1)^n\equiv a^n (\textup{mod} \;p) \to (b+1)^n\equiv (ab+b)^n\equiv (ab)^n\equiv 1(\textup{mod} \;.. 2024. 2. 11. 이전 1 다음